CURRICULUM · 27 UNITS
按章节顺序学习图论
从第 0 章开始，依次学习到第 26 章：先建立数学结构，再进入图上优化、网络观察和综合项目。第 25 章介绍八组进阶专题，第 26 章综合运用全书方法。
学习建议：从第 0 章起按编号依次学习即可。第 5 章包含组合计数，第 6 章介绍 Hamilton 结构，第 19 章进入平面图进阶专题；先修说明会提示需要回顾的概念。
A · MATHEMATICAL SPINE
数学核心主线
对象 → 路与连通 → 树 → 匹配与连通度 → 平面与着色 → 有向图 → 极值、概率与代数；树计数和 Hamilton 已标出各自支线属性。
CHAPTER 0 · OVERVIEW0
第 0 章 · 图论导入：为什么用图理解世界
从重要性、七桥问题和现实应用出发，学会看见对象之间的关系，并带着清楚的问题进入图论主线。
进入本章 →CHAPTER 01 · LANGUAGE1
第 1 章 · 图的基本语言
从 G=(V,E) 出发学习顶点、边、图的类型、邻接、度数、握手定理、完全图与度数序列判别。
进入本章 →CHAPTER 02 · ROUTES2
第 2 章 · 路、迹、步行与环
从顶点序列定义不同的走法，区分重复规则、闭合关系和环，再用距离与证书判断结构。
进入本章 →CHAPTER 03 · CONNECTIVITY3
第 3 章 · 连通性、分量、桥与割点
从路径可达与分量出发，研究删边、删点后的结构变化，并用环、DFS 和 low 值证明脆弱位置。
进入本章 →CHAPTER 04 · TREES4
第 4 章 · 树与森林
从连通与无环出发，证明唯一通路、边数与叶顶点性质，再理解森林、根树和生成树。
进入本章 →CHAPTER 05 · COUNTING TREES5
第 5 章 · 树的计数：Prüfer 与 Cayley
组合计数支线：用编码把树变成序列，证明标号树计数；掌握第 4 章即可进入，不是连通—匹配主线的必要先修。
进入本章 →CHAPTER 06 · EULER-HAMILTON6
第 6 章 · 欧拉基础与 Hamilton 专题
欧拉走法是基础结构；Hamilton 走法作为经典结构支线提前预览，用度数、连通性、割点和反例说明边界。
进入本章 →CHAPTER 07 · MATCHING7
第 7 章 · 二分图与匹配
定义二分图与匹配，用增广路和 Hall 条件分析最大分配，为一般匹配理论准备语言。
进入本章 →CHAPTER 08 · MATCHING II8
第 8 章 · 一般图匹配：Berge、Kőnig 与 Tutte
区分二分图结论与一般图结论，研究增广结构、覆盖关系和一般匹配的存在性。
进入本章 →CHAPTER 09 · CONNECTIVITY II9
第 9 章 · 连通度与 Menger 定理
从桥与割点走向点/边连通度、不交路径、块和 Menger 定理，补齐连通性主线。
进入本章 →CHAPTER 10 · PLANARITY10
第 10 章 · 平面图与欧拉公式
定义平面嵌入、面和边界，用欧拉公式、面度数和对偶图研究平面结构。
进入本章 →CHAPTER 11 · PLANARITY II11
第 11 章 · 平面图进阶：Kuratowski 与 Wagner
定义细分、收缩和图小式，说明 K₅、K₃,₃ 为什么是阻碍，并比较两种完整刻画。
进入本章 →CHAPTER 12 · COLORING12
第 12 章 · 着色、独立集、覆盖与 Brooks 定理
定义合法着色、独立集与覆盖，用上下界、排序证书和 Brooks 定理分析冲突关系中的颜色限制。
进入本章 →CHAPTER 13 · COLORING II13
第 13 章 · 着色进阶：边着色与色多项式
从顶点着色扩展到边着色、线图、Vizing 定理和色多项式，比较颜色界与递推计数。
进入本章 →CHAPTER 14 · DIGRAPHS14
第 14 章 · 有向图：强连通与凝聚图
从有向边、可达性和强连通分量出发，证明凝聚图无环，并建立合法线性序、定向树与竞赛图语言。
进入本章 →CHAPTER 15 · DAG15
第 15 章 · DAG、拓扑序与关键路径
先把 DAG 放在有向图之后理解，再把拓扑序存在性和关键路径作为结构到应用的桥梁。
进入本章 →CHAPTER 16 · EXTREMAL16
第 16 章 · 极值图论：Mantel 与 Turán
从禁止三角形和更大团出发，证明平衡完全二分图、Turán 图及其唯一等号结构。
进入本章 →CHAPTER 17 · RAMSEY & PROBABILITY17
第 17 章 · Ramsey 理论与概率方法
从任意着色必现的局部结构出发，建立 Ramsey 数、随机图、期望法、阈值与二阶矩。
进入本章 →CHAPTER 18 · ALGEBRAIC GRAPH THEORY18
第 18 章 · 代数图论：矩阵、圈空间与谱
用关联矩阵、圈空间、割空间、矩阵树定理和拉普拉斯谱读取同一张图的代数信息。
进入本章 →B · STRUCTURAL TOPIC
结构专题延伸
基础同构在第 1 章已经预览；第 19 章只回顾判别框架，再进入自同构、群作用和图同态，不与应用算法混在一起。
C · OPTIMIZATION BRANCH
图上优化支线
这些章节统一放在数学结构之后，用定理、证书和反例说明算法的输入假设与边界。
D · NETWORK & PROJECT
网络观察与综合项目
网络指标和校园项目依赖前面的数学结构与优化工具，放在支线后面，避免倒置先修关系。
E · ADVANCED MATHEMATICAL TOPICS
数学图论专题篇
第 25 章把八组进阶内容各自编成学习单元，给出先修、图示、定义、定理、证明深度和练习。
F · FINAL SYNTHESIS
全课程终结综合
完成主线、支线与进阶专题后，统一调用定义、图形、计算、证明、反例和资料卡，完成一份可审阅的图论命题报告。
MATHEMATICAL METHOD
数学主线的四个动作
算法不是起点。每学一个对象，都先把它定义清楚，再从图形、符号、证明和反例四个方向反复确认。
定义对象
先规定讨论的图和关系。
- 顶点、边、方向与权重
- 简单图、多重图与自环
- 路径、连通、匹配与嵌入
读出结构
从图形和不变量发现规律。
- 度数、分量、环与割
- 树、面、颜色与对偶
- 计数、上下界与极值构造
写出证明
把“看起来成立”变成必然结论。
- 归纳、反证与双计数
- 极小反例与交换论证
- 定理条件、推论与失效边界
数形互证
让公式、图形和证书互相检查。
- 图形 → 符号 → 手算
- 公式 → 结构 → 反例
- 结论、构造和复核证书
APPLICATION BRANCH · INTERACTIVE LAB
应用支线：在一张图上观察算法
点击节点改变起点，再切换 BFS、DFS 或 Dijkstra。这个实验台用于验证已学结构，不代表数学主线的章节顺序。
WATCH THE STRUCTURE
广度优先搜索
一层一层扩展，适合无权图中的最少边数路径。
选择起点（点击图中的节点也可以）边上的数字是权重；BFS / DFS 暂不使用权重。
STUDY METHOD
每一章固定走三步
图论最重要的不是堆叠术语，而是能说清楚定义、模型、证明、证据和失败边界。
先画出对象和关系
标明节点、边、方向、权重和特殊限制；画不清楚时先不要写算法。
再说明为什么成立
用不变量、反例或等价条件检查推理，而不是把样例输出当成证明。
最后让结果可复查
给出路径、树边、割、匹配或着色方案，并记录复杂度和未覆盖的情况。
REFERENCE DESK
数学图论资料台
先沿数学主线学习定义、结构和证明，再用经典教材与数学系课程核对定理范围；算法文档可配合应用支线阅读。